230830 완전 검색 - 부분집합
생성 일시: 2023년 8월 29일 오후 2:49
- 부분집합
- 조합
부분집합 Powerset
비트 연산자
연산자 | 연산자의 기능 |
---|---|
& | 비트 단위로 AND 연산을 한다 |
| | 비트 단위로 OR 연산을 한다 |
^ | 비트 단위로 XOR 연산을 한다 |
~ | 단항 연산자로서 피연산자의 모든 비트를 반전시킨다 |
« | 피연산자의 비트 열을 왼쪽으로 이동시킨다 |
» | 피연산자의 비트 열을 오른쪽으로 이동시킨다 |
부분집합의 수
- 집합의 원소가 n개일 때, 공집합을 포함한 부분집합의 수는 $2^n$개이다
- 이는 각 원소를 부분집합에 포함시키거나 포함시키지 않는 2가지 경우를 모든 원소에 적용한 경우의 수와 같다
반복문을 이용하여 부분집합 구하기
sel = {0, 0, 0, 0}
for i in 0 to 1:
sel[0] = i
for j in 0 to 1:
sel[1] = j
for k in 0 to 1:
sel[2] = k
for l in 0 to 1:
sel[3] = l
print(sel)
비트마스킹을 이용하여 부분집합 구하기
// N: 원소의 개수
// 부분집합의 수만큼 반복 돌리기
for (int i=0; i< (1<<N); i++) {
// i라는 부분집합에 원소 확인하기
for (int j=0; j<N; j++) {
if ((i&(1<<j))>0) {
// 처리
}
}
}
재귀 호출을 이용하여 부분집합 구하기
// sel[]: 해당 원소 포함 여부 저장
// n: 원소의 개수, k: 현재 depth
static void powerset(int n, int k) {
if (n==k) { //Basis Part
print(sel);
return;
} // Inductive Part
sel[k] = false; // k번 요소 X
powerset(n, k+1); // 다음 요소 포함 여부 결정
sel[k] = true; // k번 요소 O
powerset(n, k+1); // 다음 요소 포함 여부 결정
}
조합 Combination
서로 다른 n개의 원소 중 r개를 순서 없이 골라낸 것을 조합(combination)이라고 부른다
조합의 수식
\[nCr = n!/(n-r)!r!\]재귀적 표현
\[nCr=n-1Cr-1 + n-1Cr\] \[nCo = 1\]재귀 호출을 이용한 조합 생성 알고리즘
data[] : n개의 원소를 가지고 있는 배열
sel[]: r개의 크기의 배열, 조합이 임시 저장될 배열
comb(n, r)
IF r == 0: print_array()
ELSE IF n < r : RETURN
ELSE
sel[r-1] ← data[n-1]
comb(n-1, r-1)
comb(n-1, r)
반복문을 이용한 조합 생성 알고리즘
// {1, 2, 3, 4} 중 원소 3개를 뽑아보자
FOR i from 1 to 2 {
FOR j from i+1 to 3 {
FOR k from j+1 to 4 {
print i, j, k;
}
}
}
반복문 + 재귀를 이용한 조합 생성 알고리즘
data[] : n개의 원소를 가지고 있는 배열
sel[] : r개의 크기의 배열, 조합이 임시 저장될 배열
sidx : sel 배열의 인덱스, idx : data 배열의 인덱스
comb(idx, sidx)
IF sidx == r: print_array()
ELSE
FOR i from idx to N-R+sidx
sel[sidx] ← data[i]
comb(i+1, sidx+1)